线性代数的本质-学习笔记

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一、向量是什么？ #

• 物理学家：
• 计算机学家：
• 数学家：

二、基、线性组合、张成的空间 #

在 xy 坐标系中，有两个非常重要的向量

• i hat: 指向正右方，长度为 1，被成为x 方向的单位向量
• j hat: 指向正上方，长度为 1，被成为y 方向的单位向量

所以向量(3，-2) 可以表示为 3i+(-2)j。

i和j是xy坐标系中的基向量

但是，当我们随机选择两个向量 V 和 W 作为基, 两个数乘向量的和为 aV + bW, 通过修改标量 a,b, 我们就可以表示出所有的二位向量了

所以，每当我们使用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基

2.2、线性组合 #

两个数乘向量的和(aV + bW)被称作为这两个向量(V, W)的线性组合

2.3、张成的空间 #

所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合被称为给定向量张成的空间(span)

向量V和W全部线性组合构成的向量集合称为“张成的空间”

aV + bW，标量a,b在实数范围内变动

特殊情况

• 当向量V和W共线，张成的空间就是一条过坐标原点的直线
• 当向量V和W都是零向量，张成的空间就是坐标原点

三维空间

1、两个三维向量张成的空间是什么样的？

当改变向量线性组合中的两个标量，最终的终点会画出三维空间中某个过原点的平面

2、当再增加一个三维向量，张成的空间是什么样？

当增加一个三维向量，相当于将前面两个三维向量所组成的平面，按照第三个向量的方向进行移动，这样张成的空间就是整个三维空间

但是，当第三个向量，正好是前两个向量组成的平台上，那么张成的空间并不改变

线性相关

一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间作出任何贡献，那么这些向量是 “线性相关” 的

线性相关有以下两种情况

• 二维坐标系中两个向量共线
• 三维坐标中，第三个向量正好落在前两个向量所组成的平面上

线性无关

所有向量都给张成的空间增添了新的维度，那么这些向量就是“线性无关”的

三、矩阵与线性变换 #

线性变换 的本质是函数，接受一个向量，输出新的向量，当变换做到以下两点，则被称为 线性变换

• 直线在变换后仍然保持为直线，不能弯曲
• 原点必须保持固定

基于这两点，线性变换可以看作保持网格线平行且等距分布的变换

如何用数值描述线性变换？

因为任何向量可通过基向量 i hat 与 j hat 来表示，所以只需要记录线性变换后的 i hat 与 j hat，就可推算出任意向量在变换后的位置

从上图可得出，只要确定变换后的基向量，就可以求出任意向量变换后的位置。

所以，二维线性变换就可以由4个数字确定，也就是变换后的基向量 i hat 与 j hat 的坐标。将两个坐标保存到 2 X 2 矩阵中

所以，通过矩阵就可以描述线性变换，当矩阵[[a,c],[b,d]]代表的变换作用于任意向量[x, y]，通过矩阵向量乘法即可计算变换后的坐标

四、矩阵相乘 #

当某个线性变换之后，继续下一个变换，两个变换通常被称作前面两次单独变换的“复合变换”

例如：对二维平面先旋转，再剪切, 两个矩阵相继作用，最终得到复合矩阵

所以：矩阵相乘的集合意义就是两个线性变换相继作用，但需要注意的时，两个线性变换相继作用的先后顺序是从右到左

当知道了线性变换的执行顺序之后，下面两道题不用计算 矩阵相乘 就可以知道结果了

M1M2 === M2M1 // false
A(BC) === (AB)C // true, 作用两边都是按照 C，B，A 这个顺序执行

同时，有了这个执行顺序，我们可以轻松算出矩阵相乘的结果，也就是复合矩阵

• M1 代表的是第一次线性变换后基向量的坐标，i hat 向量坐标为 [1, 1], j hat 向量坐标为 [-2, 0],
• 再次进行第二次线性变换 M2，可计算出 i hat， j hat 基向量在 M2 作用后的新坐标

当知道矩阵相乘的几何原理，以及线性变换的执行顺序，我们可以轻松计算出结果，而不需要死记硬背公式了

五、行列式 #

线性变换改变面积的比例，被称为这个变换的行列式

例如，二维平面通过线性变换后，变换矩阵为 [[3,0], [2,2]], 此时，这次变换导致基向量所组成的面积由 1 变成 6了，那次此次变换的行列式就为 6

当某次线性变换的行列式为 0 ，表示本次变换将二维平面压缩成了一条线或一个点了（降维）

这样，只需要校验线性变换的行列式是否为 0, 就能了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上了

5.1、负倍数行列式 #

如何将一个区域缩放成负倍数？

当线性变换改变了空间的定向, 本次变换的行列式就会变成负倍数，当然，也可以通过基向量来解释空间的定向发生改变

初始情况下，基向量 j 在 i 的左侧

通过线性变换后，基向量 j 在 i 的右侧

这样就表明，本次线性变换改变了空间的定向。当空间定向发生了改变，行列式为负

5.2、如何计算行列式 #

二维空间下的线性变换的行列式计算公式如下

具体推算逻辑如下👇